Może to być termostat nie za bardzo wiem jak wygląda chłodzenie w Aurisie ale w Fiacie Brava tak miałem, padł mi termostat i po rozgrzaniu silnika nie zamykał mi na mały obieg. Czyli po rozgrzaniu silnika cały czas był otwarty duży obieg chłodzenia.

Czytaj ze zrozumieniem.
Ty miałeś cały czas otwarty duży obieg (czyli silnik był ewentualnie niedogrzany) a u autora zaczyna szarpać po nagrzaniu.
Termostat nie ma z pewnością nic z tym wspólnego (o ile jest "mechaniczny" a nie elektryczny jak np. w najnowszych VW)
Z "tańszych" rzeczy obstawiam jakiś czujnik temperatury (np. temp. paliwa jeśli taki w Toyocie występuje).
Z droższych układ podawania/wtryskiwania ON.